Beschreibung des Systems Jens bezüglich des Getränkezustands
1 Einführung
Wir betrachten eines der einfachsten quasi-klassischen Quantensysteme, einen freien Intellektuellen im äußeren inhomogenen Getränkefeld. Aus historischen Gründen beziehen wir uns auf das System als Jens, wir hätten ebensogut Walter oder, korrekter, WJ schreiben können, wie das einige Lehrbücher tatsächlich tun.
2 Getränkezustandsraum
2.1 Mathematische Untersuchung
Es zeigt sich, daß die Einstellung von Jens gegenüber dem äußeren Feld nur zwei Werte annehmen kann: Bier oder Wein. Das Getränkemaß wollen wir zunächst vernachlässigen; da aber Bier und Wein einander im Fall des freien Intellektuellen offensichtlich vollständig ausschließen, wählen wir das orthonormale 2-dimensionale Koordinatensystem, <Wein|; <Bier| , zur Darstellung des allgemeinen Zustandes von Jens. Somit ist also:
<Wein|Bier> = <Bier|Wein> = 0 (2.1.1)
<Wein|Wein> = <Bier|Bier> = 1 (2.1.2)
Damit ist nun aber allgemein (Mit a=0 für den Speziallfall verschwindenden Bierkonsums):
<Jens| = a <Bier| + b <Wein| (2.1.3)
wobei
<Jens|Jens> = 1
(Normierungsbedingung!) und damit
a² + b² = 1 (2.1.4)
gelten soll. (Beweis für 2.1.4?)
Für die Meßoperatoren Gw und Gb soll nun—empirisch—gelten (ein Meßoperator angewandt auf einen reinen Zustand liefert den Zustand multipliziert mit dem Meßwert—der Getränkemenge—zurück):
Gw <Wein| = Wein <Wein| (2.1.5)
Gb <Bier| = Bier <Bier| (2.1.6)
Gw <Bier| = Gb <Wein| = 0 (2.1.7)
Wie einfaches Nachrechnen zeigt, werden diese Forderungen für folgendes System von Vektoren und Operatoren erfüllt (Übungsaufgabe).
<Wein| =(1,0) <Bier| = (0,1) (2.1.8)
Gw = ((Wein,0),(0,0)) Gb = ((0,0),(0,Bier)) (2.1.9)
Der Erwartungswert für Jens im Zustand <Wein| ist demnach
<Wein> = <Jens| Gw |Jens> =
(a <Bier| + b <Wein|) Gw (a |Bier> + b |Wein>) =
(a <Bier| + b <Wein|) b Wein |Wein> =
a b Wein <Bier|Wein> + b² Wein <Wein|Wein> =
b² Wein (2.1.10)
entsprechend ergibt sich für den Erwartungswert <Bier> :
<Bier> = <Jens| Gb |Jens> = a² Bier (2.1.11)
Da wir Bier und Wein mit den Getränkemengen identifiziert haben, finden wir daraus leicht für die Wahrscheinlichkeit, Jens biertrinkend anzutreffen:
Pbier = a² (2.1.12)
Dies verträgt sich sehr gut mit Forderung 2.1.4. (Warum?)
2.2 Konkretion
Stochastische Überlegungen zeigen, daß, wenn wir von 40 Jahren beobachteten Trinkens bei Jens ausgehen, mit durchschnittlich zwei beobachteten Ereignissen pro Tag, wir also 40 x 365,25 x 2 = 29220 Ereignisse zu berücksichtigen haben, bei denen verbürgt ist, daß kein Biertrinken beobachtet wurde (vgl. dazu die linguistischen Studien zur Bedeutung der Äußerung Jens' an anderer Stelle in diesem Band). Mit der Wahrscheinlichkeit PBier = a² für einmaliges Biertrinken erhalten wir für n-faches Nichtbiertrinken aber die Wahrscheinlichkeit
Pwein,n = b²n = (1 - a²)n (2.2.1)
Setzen wir nun in Einklang mit dem Experiment
Pwein,29220 = 0,995 (2.2.2)
mit 0,5% Irrtumswahrscheinlichkeit, so ergibt sich für a:
a = sqrt(1-0,9951/29220) = 0,0004141 (2.2.3)
Wir gelangen damit zu folgender Abschätzung für die Zeit, die Jens für ein einzelnes Bier im Durchschnitt benötigt: Offenbar ist die Zahl der Trinkvorgänge, unter denen im Schnitt ein Biertrinken zu finden ist, gerade
N = 1/a2 = 5830904 (2.2.4)
Das heißt präzis, bei 2 Trinkvorgängen per Tag ist die mittlere Bierdauer
B = 5830904/(2*365,25) Jahre = 7982,07 Jahre (2.2.5)
oder mit anderen Worten: Jens benötigt für ein Bier fast acht Jahrtausende, wenn er bislang vielleicht eins getrunken hat. Das mag uns lang erscheinen, die Halbwertszeit von C-14 ist jedoch fast genauso lang (5763 Jahre).Dennoch darf man nicht auf den Gedanken kommen, auch mit Jens seien Altersmessungen an antiken Vasen möglich. Dies gelingt nur in Ausnahmefällen.
Der Vollständigkeit halber sei noch angemerkt, daß sich Jens unserem kundigen Auge nun folgendermaßen darstellt:
|Jens> = sqrt(1-0,9951/29220) |Bier> + 0,9951/58440 |Wein>
Das durchschnittliche Jensgetränk setzt sich also aus 8,575 x 10-8 Litern Bier und 0,249999957 Litern Wein zusammen. Insgesamt sind es etwa 0,25 + 4,2 x 10-8 Liter Gemisch.
3 Energiebetrachtung
Der Hamiltonian für unser Bier-Wein-Getränkesystem muß folgenden Bedingungen genügen:
H |Bier> = XBier Bier |Bier> (3.1)
H |Wein> = XWein Wein |Wein> (3.2)
Dabei ist XBier die Energiedichte von Bier in Joule pro Liter, XWein entsprechend die Energiedichte für Wein, ebenfalls in Joule pro Liter. Aus den Beziehungen 3.1 und 3.2 folgt, zusammen mit 2.1.5 bis 2.1.7, sofort, daß
H = XWein Gw + XBier Gb
Damit wird der Energieerwartungswert für das System Jens
<H> = <Jens| H |Jens>
= (a <Bier| + b <Wein|) (XWein Gw + XBier Gb ) (a |Bier> + b |Wein>)
= a² XBier Bier + b² XWein Wein
= Pbier Bier XBier + Pwein Wein XWein
= <Bier> XBier + <Wein> XWein (3.3)
Dies ist die Summe der Erwartungswerte für die einzelnen Getränke multipliziert mit ihrer Energiedichte, getreu der klassischen Erwartung. Wir erhalten o.b.d.A. mit X Bier = 500 J/l, XWein = 300 J/l.
<H> = 75,000029975 J
Oder, umgerechnet auf De Broglie - Wellenlängen:
s = hc/<H> = 2,65 * 10-27
oder, mit etwas anderen Worten, die Getränkewelle Jens wird von nichts gebeugt, das merklich breiter als etwa 3 Milliardstel Milliardstel Millionstel Millimeter ist, abermals in sehr guter Übereinstimmung mit dem Experiment: eine Beugung des Jens wurde noch nie beobachtet.