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2.3 Neuer Algorithmus

Der vorgeschlagene Algorithmus funktioniert durch einen numerischen Fit im mehrdimensionalen Raum der Kalibrationsparameter. Es wird unter allen n-dimensionalen Punkten in diesem Raum derjenige ausgesucht, für den ein bestimmtes Funktional seinen minimalen Wert annimmt; dabei ist n die Anzahl der in diesem Schritt bestimmten Parameter, und somit in unserem Fall kleiner oder gleich der maximalen Parameterzahl, fünf.

Um die Stabilität des zu entwerfenden Kalibrationsalgorithmus' zu erhöhen, wurden zunächst durch Wahl eines speziellen Kalibrationsverfahrens die Zahl der Parameter für den eigentlichen Fit von fünf Parametern auf vier reduziert. Dies geschieht durch Heranziehen der - gegen die Drehung der Kamera invarianten - Abstände der Fixationspunkte vom Referenzpunkt anstelle ihrer absoluten Koordinaten im Bild.

Die Daten, die zur Kalibration herangezogen werden, sind nun aufgrund obiger Beschreibung ein Satz von n Fixationspunkten mit bekannten, weil bei der Aufnahme der Daten vorgegebenen, Winkelstellungen $\phi_i,\theta_i$ und diesen zugeordneten gemessenen Pixelkoordinaten $\vec{x}_i$ (ermittelt durch Pupillenfindung auf der Videoaufzeichnung der Sequenz).

Für jeden Satz von Kalibrationsparametern $R_{auge}, d, \vec{x}_{ref}$ läßt sich aus den Winkelpositionen der für diese Parameter erwartete Satz von Pixelkoordinaten wie in Gleichung 1.25 berechnen2.3 (gestrichene Größen bezeichnen die aus den Transformationen berechneten Bildkoordinaten und Abstände, ungestrichene die bei der Kalibration tatsächlich gemessenen).


 \begin{displaymath}\vec{\tilde{x}}'_{i}= \left( \begin{array}{c}
\sin(\theta_i)...
...ay}{c}
\tilde{x}_{ref} \\ \tilde{y}_{ref} \end{array} \right)
\end{displaymath} (2.1)

mit wiederum


\begin{displaymath}\mathcal{F} = \frac{g - \cos(\phi_i) \cos(\theta_i) R_{auge} - d (1 - \cos(\phi_i))} {b}
\end{displaymath} (2.2)

Diese Transformation berücksichtigt noch nicht die (zunächst unbekannte) Verdrehung der Kameras auf dem Kopf des Probanden. Daher wird nicht der - durch diese Verdrehung veränderte - absolute Wert der Pixelkoordinaten für die Kalibration herangezogen, sondern der Abstand der einzelnen Punkte vom Referenzpunkt, $\delta x'_i$.


 
$\displaystyle \delta x'_{i}(R_{auge},d)$ = $\displaystyle \left\vert \left( \begin{array}{c}
\sin(\theta_i) R_{auge} \\
\s...
...i) [\cos(\theta_i) R_{auge} - d] \end{array} \right)
\mathcal{F} \, \right\vert$ (2.3)
       
  = $\displaystyle \mathcal{F}
\sqrt{ \sin^2(\theta_i) R_{auge}^2 +
\sin^2 (\phi_i) [\cos(\theta_i) R_{auge} -d]^2 }$ (2.4)
       
  = $\displaystyle \mathcal{F} \mathcal{W}$ (2.5)

mit


\begin{displaymath}\mathcal{W}=\sqrt{ \sin^2(\theta_i) R_{auge}^2 +
\sin^2 (\phi_i) [\cos(\theta_i) R_{auge} -d]^2 }
\end{displaymath} (2.6)

Dieser Abstand läßt sich für die aus der Transformation erhaltenen Koordinaten berechnen und parallel dazu für die aus den Kalibrationsdaten gewonnenen. Das heißt, es wird für die gemessenen Punkte in der Kameraebene


$\displaystyle \delta x_i(\vec{x}_{ref})$ = $\displaystyle \left\vert \vec{x}_i - \vec{x}_{ref} \right\vert$ (2.7)
       
  = $\displaystyle \sqrt{ (x_i-x_{ref})^2 + (y_i-y_{ref})^2 }$ (2.8)

berechnet. Für jeden 4-D-Kalibrationspunkt wird nun die Differenz dieser Abstände, $\Delta_i$, und dann die Quadratsumme dieser Differenzen berechnet. Die $\Delta_i$ hängen dabei von allen vier Kalibrationsparametern ab, während die beiden Differenzen $\delta\vec{x}_i$ und $\delta\vec{x}'_i$ nur von jeweils zweien der Parameter abhängen.


\begin{displaymath}\Delta_i = \Delta_i(R_{auge},d,\vec{x}_{ref}) = \delta x'_i(R_{auge},d) -
\delta x_i(\vec{x}_{ref})
\end{displaymath} (2.9)


\begin{displaymath}\mathcal{S}=\mathcal{S}(R_{auge},d,\vec{x}_{ref}) = \sum \Delta_i^2
\end{displaymath} (2.10)

Dabei ist n die Anzahl der Fixationspunkte.

Die Suche nach den korrekten Kalibrationsparametern wird nun im vierdimensionalen Raum der Parameter als Suche nach dem Minimum der Abstandsquadratsumme $\mathcal{S}$ durchgeführt. Ist dieses Minimum gefunden, wird anschließend die Kamerarotation $\alpha$ berechnet.


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1999-04-24